Ta có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\)nên:

\(\Rightarrow a+b+c< a+b+c+d\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow M>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Lại có: \(a,b,c,d\in N^{\times}\) nên:

\(\Rightarrow a+b+c>a+b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{a+b+d}< \frac{b}{a+b}\)

Và: \(\frac{c}{a+c+d}< \frac{c}{c+d}\)

Và: \(\frac{d}{b+c+d}< \frac{d}{c+d}\)

\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b}+\frac{c+d}{c+d}=2\)

Vậy \(1< M< 2\) nên \(M\) không phải số tự nhiên.

Tính chất tỉ số: 
Cho x, y, z > 0; x/y < 1 ta có: x / y < (x+z) / (y+z) (*) 
cm: 
(*) <=> x(y+z) < y(x+z) <=> xy+xz < yx+yz <=> xz < yz <=> x < y đúng do gt x < y 
- - - - - 
với các số a, b, c ta có: a < a+b ; b < b+c ; c < c+a 
=> a/(a+b) < 1 ; b/(b+c) < 1 ; c/(c+a) < 1; ad (*) ta có: 

A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+c)/(a+b+c) + (b+a)/(b+c+a) + (c+b)/(c+a+b) 

=> A < 2(a+b+c)/(a+b+c) = 2 

mặt khác ta có: 
A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(b+c+a) + c/(c+a+b) 
=> A > (a+b+c)/(a+b+c) = 1 

Tóm lại ta có: 1 < A < 2 => A không là số tự nhiên

        Chúc bạn học giỏi

@Bài sửa

Với a, b, c, d là các số tự nhiên

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M>\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}\right)\)

\(\Rightarrow M>1\)                (*)

Ta lại có:

\(\frac{a}{a+b}<\frac{a+b}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b+c}{b+c+a};\frac{c}{c+a}<\frac{c+a}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M<\left(\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+a}+\frac{c+a}{c+a+b}\right)\)

\(\Rightarrow M<2\)               (**)

Từ (*) và (**) ta có 1 < M < 2 suy ra M không là số tự nhiên

Với a, b, c, d là các số tự nhiên

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}<\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}<\frac{b}{b+c+a};\frac{c}{c+a}<\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=1\)

\(\Rightarrow M<1\)           (*)

Ta lại có: 

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a+b}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b+c}{b+c+a};\frac{c}{c+a}>\frac{c+a}{c+b+a}\)

\(\Rightarrow M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+a}+\frac{c+a}{c+a+b}=2\)

\(\Rightarrow M<2\)           (**)

Từ (*) và (**) ta có 1 < M < 2 suy ra M không là số tự nhiên

* Chú ý: Để giải bài toán này ta áp dụng công thức:

\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\) (với a, b, c cũng là các số tự nhiên)

\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(P>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)

\(P>1\left(1\right)\)

Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\) (a;b;c \(\in\) N*), ta có:

\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

\(P< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(P< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => 1 < P < 2

=> P không phải số tự nhiên (đpcm)

Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 => 
a + b + c < a + b + c + d 
a + b + d < a + b + c + d 
a + c + d < a + b + c + d 
b + c + d < a + b + c + d 
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1) 
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2) 
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3) 
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d) 
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1 
=> B > 1 (*) 

Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad) 
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad 
= bd + cd 
Do a;b;c và d là số tự nhiên >0
=> bd + cd > 0 
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0 
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d) 
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5) 
Chứng minh tương tự ta được: 
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6) 
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7) 
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8) 
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được: 
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) 
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B 
=> 2 > B (*)(*) 
Từ (*) và (*)(*) 
=> 1 < B < 2 
=> B không phải là số tự nhiên

A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d

A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+d

A > a+b+c+d/a+b+c+d

A > 1 (1)

Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)

A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d

A < a+d/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + a+c/a+b+c+d + d+b/a+b+c+d

A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d

A < 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < A < 2

=> A không phải số nguyên ( đpcm)

Ko fai số tự nhiên nha

2 > M >/ 4/3  => M không là số N

Đề sai 

Ta có : 

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)\(\Rightarrow A>1\)( 1 )

Lại có :

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{a+b}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)A không phải là số tự nhiên ( vì 1 < A < 2 )

Ta thấy: 

\(\frac{a+d}{a+b+c+d}>\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b+a}{a+b+c+d}>\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d} \)

\(\frac{c+b}{a+b+c+d}>\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d+c}{a+b+c+d}>\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

Do đó:

\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{a+b+c+d}+\frac{d+c}{a+b+c+d}>A\)

VÀ  \(A>\)\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow2>A>1\)

\(\Rightarrow\)A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0

Vậy A không là số tự nhiên với a,b,c,d > 0